2012备考高考数学模拟题一套

2012备考高考数学模拟题

     本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合的 （    ）

A．充分不必要条件          B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.公差不为0的等差数列中, ,数列是等比数列，且,则（    ）

A．4                 B．8                C．16                D．36

3. 若纯虚数满足（其中是虚数单位，是实数），则（　　）

A． B． C．-4 D．4

4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（     ）

 

A.           B.             C.           D. 6

5．已知直线（其中）与圆交于，O是坐标原点，则·=（      ）   

A．- 1      B．- 1     C． - 2    D．2

6．设，则二项式，展开式中含项的系数是（    ）

A.               B. 192              C.  -6              D. 6

7．已知对数函数是增函数,则函数的图象大致是（    ）

8．关于的方程的两实根为，若，则的取值范围是（    ）

A．  B． C．    D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. 

（一）必做题（9—12题）

9. 右图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出

的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩

数据的平均数为         ；方差为          .

 

10.已知，则的值为_______．

11. 在如下程序框图中，已知：，则输出的是_________     _.

12. 设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且，，则该椭圆的离心率为           ．  

（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线相交于点M，在OM上取一点P，使.设R为上任意一点，则RP的最小值     ．

14. （不等式选讲选做题）若关于的不等式(R)的解集为，则的取值范围是      ．

15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O1与⊙O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E．且AD＝19，BE＝16，BC＝4，则AE＝         ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知在中，所对的边分别为，若 且

(Ⅰ)求角A、B、C的大小；

(Ⅱ)设函数，求函数的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离.

17. （本小题满分13分）

在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中, 、两个代表队进行对抗赛, 每队三名队员, 队队员是队队员是按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分, 负队得0分, 设A队、B队最后所得总分分别为、, 且.

（Ⅰ）求A队得分为1分的概率；

（Ⅱ）求的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强. 

对阵队员	队队员胜	队队员负
对
对
对

18. （本小题满分13分）

已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆，其中圆心的坐标为.

(Ⅰ)当时，椭圆的离心率的取值范围.

(Ⅱ)直线能否和圆相切？证明你的结论.

19. （本小题满分13分）

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）.将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
  

（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
   （Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
   （III）求二面角B－A1P－F的余弦值.

20. （本小题满分14分）

已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，

公差为2的等差数列. 

    (Ⅰ)求证：数列是等比数列；

    (Ⅱ) 若，当时，求数列的前项和；

（III）若，问是否存在实数，使得中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

21. （本小题满分14分）

已知函数F(x)=|2x－t|－x3+x+1（x∈R，t为常数，t∈R）.

(Ⅰ)写出此函数F(x)在R上的单调区间；

(Ⅱ)若方程F(x)－k=0恰有两解，求实数k的值．

【答案及详细解析】

一、选择题：本大题理科共8小题，每小题5分，共40分. 文科共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【解析】A. ;,

.选A.

【链接高考】本题主要考查集合的有关知识,解不等式,以及充要条件等知识.集合是学习其它知识的基础，在高考中时有出现，通常与函数、不等式的知识综合考查，难度不大，基本是送分题.

2.【解析】D.解: ,即,,由知, ..

【链接高考】 本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质. 纵观近几年的高考，基本上是考查两个基本数列的通项公式和前n项和公式的简单运用.这种趋势近几年还会保持. 两类基本数列问题,是高考的热点.  

3．【解析】C．设,则有,即,即,解得.

【链接高考】有关复数的考查，最近五年只是一道选择题，主要考查复数的基本概念和复数的简单运算.

4．【解析】B.棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为，则，

，故三棱柱体积.

【链接高考】三视图是高考的新增考点,不时出现在高考试题中,应予以重视．

5．【解析】C.圆心O到直线的距离，所以,，所以·=（·，故选C.

【链接高考】本题是考察平面几何、向量、解析几何有关知识，预测也是今年是高考考热点，要注意.

6．【解析】A. ，二项式的通项公式为，令，得，故展开式中含项的系数是.

【链接高考】本小题设计巧妙，综合考查定积分和二项式定理，是一道以小见大的中档题，不可小视.

7．【解析】B. 由函数是增函数知, .故选B.

【链接高考】本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力.这类试题经常出现,要高度重视.

8．【解析】D.设，则方程的两实根满足的

充要条件是，作出点满足的可行域为Δ的内部，其中点、、，的几何意义是Δ内部任一点与原点连线的斜率，而，，作图，易知.

【链接高考】本小题是一道以二次方程的根的分布为载体的线性规划问题，考查化归转化和数形结合的思想，能力要求较高.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. 

（一）必做题（9—12题）

9.【解析】；. 由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的平均数为；方差为

.

【链接高考】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数.

10.【解析】.当时, ,故

.

【链接高考】本题主要考查分段函数,函数的周期性,三角函数的求值等.有关函数方程问题时常出现在高考试题中,考生应该进行专题研究.

11. 由.

【链接高考】读懂流程图是高考对这部分内容的最基本的要求，也是最高考常见的题型.本题是把导数的运算与流程图结合在一起的综合题.

12.【解析】.由知,.由知, .则,即.

【链接高考】本题是有关椭圆的焦点三角形问题,却披上了平面向量的外衣,实质是解三角形知识的运用.

（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

13.（坐标系与参数方程选做题）【解析】1.设，，.故P在圆: 上,而R为直线: .由图象知,.

【链接高考】本小题主要考查直线与圆的极坐标方程的有关知识,以及转化与化归的思想方法.解决本题的关键是将它们转化为直角坐标系下的直线与圆的位置关系问题来处理.

14. （不等式选讲选做题）【解析】.因为，所以若不等

式的解集为，则的取值范围是.

【链接高考】本小题主要考查含绝对值三角不等式的性质，这类问题是高考选做题中的常规题，解题方法要熟练掌握.

15. （几何证明选讲选做题）【解析】28．因为A，M，D，N四点共圆，所以．同理，有．所以，即，所以 AB·CD＝BC·DE． 

设CD＝x,则AB＝AD- BC-CD＝19-4-x=15-x, DE＝BE- BC-CD＝16-4-x=12-x,则，即，解得或（舍）.

AE＝AB+ DE- BD＝19+16-7=28.

【链接高考】本小题主要考查两圆的位置关系,以及相交弦定理的有关知识,分析问题和解决问题的能力,以及转化与化归的思想方法.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.【解析】(Ⅰ)由题设及正弦定理知:,得

∴或 ,即或

当时,有, 即,得,;

当时,有,即 不符题设

∴, …………………7分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知:

当时, 为增函数

即的单调递增区间为.  ………11分

它的相邻两对称轴间的距离为.  ………12分

【链接高考】 解决本题的关键是,利用正弦定理把三角形边角问题转化为三角函数问题是解题的关键，三角形与三角函数、向量与三角函数高考考察的热点.

17.【解析】（Ⅰ）设A队得分为1分的事件为, 

∴.  ………… 4分

（Ⅱ）的可能取值为3 , 2 , 1 , 0 ;    

, 

, 

,   

∴的分布列为:                           

	0	1	2	3
P

                        

                                                                                                            

………… 10分

    于是 ,   ……………… 11分

∵ , 

∴ .                       ……………………… 12分

由于, 故B队比A队实力较强.         ……………………… 13分

【链接高考】本题主要考查的是随机变量的分布列和数学期望问题.这是概率与统计大题考查的主阵地,预计还有可能与函数、导数、方程、数列以及不等式等知识综合考查.

18. 【解析】(Ⅰ)由题意的中垂线方程分别为，

于是圆心坐标为.          …………………………………4分

=，即 ,

即,所以，于是＞ 即，

所以,即 ＜＜.                     ………………7分

（Ⅱ）假设相切， 则，   ………………………………………9分

，……11分

这与矛盾. 

故直线不能与圆相切.      ………………………………………………13分

【链接高考】 本题主要考查直线与圆、椭圆的位置关系以及分析问题与解决问题的能力.圆锥曲线与圆的综合题经常出现在高考试题中，要引起足够的重视.

19. 【解析】不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .

（解法一）(I)在图1中，取BE的中点D，连结DF．

∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF是正三角形，

又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…………2分

在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．

又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．……….4分

(II)在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是平面A1BP的斜线．

又A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP,

从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）．

设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则

∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角，…………………6分

且BP⊥A1Q．

在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=600，

∴△EBP是等边三角形，∴BE=EP．

又A1E⊥平面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=，

又A1E=1,在Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=,∴∠EA1Q=600．

所以直线A1E与平面A1BP所成的角为600．…………………8分

(III)在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM，QF．

∵CF=CP=1, ∠C=600. ∴△FCP是正三角形，∴PF=1．

又PQ=BP=1，∴PF=PQ．         ①

∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=，   

∴A1F=A1Q，∴△A1FP≌△A1QP,

从而∠A1PF=∠A1PQ.               ②

由①②及MP为公共边知,△FMP≌△QMP，

∴∠QMP=∠FMP=900，且MF=MQ，

从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角.……………10分

在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P=.

∵MQ⊥A1P, ∴MQ=,∴MF=.

在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=600，由余弦定理得QF=.

在△FMQ中，cos∠FMQ=.

所以二面角B-A1P-F的余弦值是．.……………..13分

（解法二）(I)同解法一．

(II)建立分别以ED、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,1),

B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0),则,．

设平面ABP的法向量为， 

由平面ABP知，，即

令，得，．

,

,

所以直线A1E与平面A1BP所成的角为600．

(II) ，设平面AFP的法向量为．

由平面AFP知，，即

令，得，．

,

所以二面角B-A1P-F的余弦值是．.……………..13分

【链接高考】本题主要考查四棱锥的有关知识,直线与平面垂直,直线于平面所成的角,二面角的问题,以及分析问题与解决问题的能力.简单几何体是立体几何解答题的主要载体,特别是棱柱和棱锥.

20.【解析】(Ⅰ) 证：由题意，即，  ……1分

∴∴.  ……2分

∵常数且，∴为非零常数，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列.    ……3分

(II)  解：由(1)知，，

当时，.         …………4分

∴，       ① 

 .         ②   ……5分

②－①，得 

∴  .   ……8分

(III) 解：由(1)知，，要使对一切成立，

即对一切成立.           ……9分

① 当时，，对一切恒成立；……10分

② 当时，，对一切恒成立，只需，……11分

∵单调递增，∴当时，.  ……12分

∴，且， ∴.    ……13分

综上所述，存在实数满足条件.   ……14分

【链接高考】本题综合考查数列的基本知识、方法和运算能力，以及分类讨论和化归、转化的思想方法. 错位相减法是数列求和的一种重要方法，备考复习中要引起重视.

21.【解析】(Ⅰ)

∴ .……………..4分

由－3x2+3=0 得x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0恒成立，

∴ i) 当<－1时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数，

在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数．

ii) 当1>≥－1时，F(x)在区间(－∞，)上是减函数，

在区间(，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数．

iii) 当≥1时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数． .……………..8分              

       (II)由1）可知

i) 当<－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t，

在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，

此时m=－1－t或m=3－t．

ii) 当－1≤<1，F(x)在x=处取值为，

在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，

此时m=或m=3－t．

iii) 当≥1时，不存在这样的实数m，使得F(x)－m=0恰有两解．.……………..14

【链接高考】本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论. 在新高考中每年有一道导数综合题,同学们应高度重视.